Hallo,
also die Vollzeittätigkeit beginnt am 01.08.?
Der Antrag auf eine vorläufige Weiterbewilligung stellst du einfach formlos, so wie du es formuliert hast, ist es ok, nur vielleicht solltest du es nicht "Vorschussleistung" nennen, sondern Leistungsfortzahlung bis du dein erstens Gehalt hast. Ein Vorschuss ist im SGB wieder was anderes.
Das Geld was dir sowieso zusteht, musst du natürlich nicht zurück zahlen, auch wenn du ein Darlehen beantragst. Das wird dann ausgerechnet, und was zuviel geleistet wurde, zahlst du dann in Raten zurück.
Ich würde in dem Antrag nicht anbieten gleich alles auf einmal zu bezahlen wenn dein erster Lohn da ist, weil du dann ja mit der nächsten Mietzahlung wieder Probleme bekommst. Deswegen meinte ich Darlehen beantragen und Ratenzahlung vereinbaren, das ziehen sie dir dann monatlich vom ALG II ab (sofern du noch aufstockende Leistung erhälst, ansonsten überweist du die Raten).
Diesen Antrag stellst du jetzt bei der alten ARGE, und wenn du einen Neuantrag in Köln stellst, diesen Antrag dort dann auch stellen.
Den Neuantrag für Köln kannst du dir im Netz runterladen, einfach auf die Homepage der ARGE Köln gehen. Was du da brauchst, weißt du ja. Dann maile dem SB in Köln nochmal und verlange einen Termin zur Antragsabgabe. Wenn du dann da hingehst, nimm Wohnungsangebote mit und lass dir gleich eine Wohnung schriftlich genehmigen. Antrag für Kautionsdarlehen dann auch abgeben (schriftlich und formlos).
Lasse dir von deiner jetzigen ARGE schriftlich zusagen, dass sie deine alte Miete bis Ablauf des Mietvertrages übernehmen. Damit hat die neue ARGE nichts zu tun, die zahlen ab Anmeldung in Köln.
Umzugskosten beantragst du bei der alten ARGE.
Das ist natürlich alles ganz schön eng zeitlich, aber machbar. Den Termin in Köln solltest du möglichst nahe an den 15.07. legen, am besten am gleichen Tag noch Mietvertrag unterschreiben und ummelden. Das dann unverzüglich der ARGE nachreichen. Wenn da ein/zwei Tage zwischen liegen, ist das nicht so schlimm.
Ich hoffe das war erstmal alles.
LG, Jalale.