Als erstes solltest du dir wohl eine Umzugserlaubnis deiner jetzigen ARGE holen, dann kannst du dich auch auf die Suche nach einer neuen Wohnung machen.
Mit den Wohnungsangeboten + Umzugserlaubnis dann zu der neuen ARGE und hoffen dass die Wohnung groß/klein genug ist und auch die richtige Miete hat.
Mit einem Ausbildungsvertrag wird die ARGE dir auch den Umzug bezahlen, wie das jetzt aussieht weiß ich nicht.
Als ich mich von meinem Freund trennte und zurück in die Heimatstadt wollte, wollte man mir den Umzug nicht zahlen weil dieser aus "persönlichen Gründen" wäre.