Hallo!
Die Kaution wird unabhängig vom Vermieter bezahlt. Egal ob nun eine große Wohnungsbaugesellschaft oder ein kleiner Privatvermieter.
Das mit der Erstausstattung ist eine schwere Kiste, da eben deine Eltern dummerweise der alte Vermieter sind. Du kannst es halt probieren. Vielleicht hast du ja Glück und findest einen netten Sachbearbeiter.