1. Wenn dir der Umzug genehmigt wird, und eine Kostenübernahme zugesichert wurde, werden dir die Umzugskosten erstattet.
Wichtig ist hier, dass der Umzug notwendig ist, um eine Übernahme der Umzugskosten zugesichert zu bekommen.
2. Zur "Erstausstattung" einer Wohnung gehören Möbel und Haushaltsgeräte, die zum täglichen Gebrauch notwendig sind. Dazu zählen auch Küchenschränke. Eine "vollständige" Küche, wie sie z.B. in Wohnungen als Einbauküche bereits vorhanden sind, ist dabei aber nicht gemeint. D.h. es wird nur das Notwendigste genehmigt. Dabei ist es unerheblich, ob der Bedarf schon länger vorliegt oder aktuell eintritt.
Ersatzbeschaffungen sind jedoch von dieser Regelung ausgenommen. Bei defekten Möbeln oder Haushaltsgeräten muss dieses aus den Regelleistungen bestritten werden. Man kann jedoch, wenn der Mangel akut ist, ein Darlehen beantragen, welches dann von den Regelleistungen zurückzuzahlen ist.
Konkret zu deinem Fall: Umzugskosten werden sehr wahrscheinlich dir nicht erstattet, außer der Umzug wird aus trifftigem Grund ausgeführt (Trennung vom Partner usw.). Küchenschränke werden dir im Rahmen der Erstausstattung gewährt. Das Bett musst du selber ersetzen, notfalls mit einem Darlehen bei der ARGE.