Ein Rückzug ist Schwachsinn - Dem Alg2-Antrag wurde stattgegeben! Und solange deine Freundin keine "falschen Angaben" gemacht und die Arge jetzt erst merkt, dass die selber einen Fehler gemacht haben, dann haben die Pech gehabt.
Für Eigenverschulden der Arge kann der Betroffene nicht haftbar gemacht werden.
Dies ist nicht ganz richtig! Hier muss von dem Hilfeempfänger nachgewiesen werden, dass er sämtliche Angaben wahrheitsgemäß bei der Antragsstellung abgegeben hat. Wenn z.B. die ARGE davon ausgehen musste, dass seine Freundin schon länger in der Wohnung wohnte, hat sie dieses zu akzeptieren. Stellt sich jedoch im Nachhinein raus, dass der Umzug kurz vor der Beantragung der Leistungen erfolgte, kann die ARGE davon ausgehen, dass der Umzug nur dazu diente, dass sie hilfebedürftig wird.
Der Rückumzug zum Elternhaus ist dadurch gerechtfertigt, dass ihre Eltern weiterhin für ihren Unterhalt zu sorgen haben. Sie muss also nunmehr nachweisen, dass ein Rückumzug nicht zuzumuten ist. Beziehungen, die (noch) nicht darauf ausgerichtet sind, eine Familie zu gründen, sind "Privatvergnügen". Daher können hier die hohen Fahrtkosten nicht geltend gemacht werden. Vielmehr müssten dann ihre Eltern ihren Anteil an den Mietkosten und ihrem Unterhalt ihr finanzieren.
Nochmals zum Vorgehen bei Antragsstellungen: Immer eine Kopie erstellen und auf dieser den Eingang bei der ARGE dokumentieren lassen. Oder den Antrag per Einschreiben auf dem Postweg der ARGE zukommen lassen. Es ist sonst schwer zu beweisen, dass ein Antrag (fristgerecht) eingereicht wurde.
Einen Umzug kann dir die ARGE nicht verbieten. Nur, wenn die ARGE dir den Umzug nicht genehmigt, musst du die Umzugskosten und die evtl. Mietkaution selber tragen. Wenn du also darauf nicht angewiesen bist (auf Grund deiner Schilderung gehe ich von kaum Umzugskosten aus), kannst du jederzeit umziehen. Du hast nur zu beachten, dass die Wohnung angemessen bleibt.