Erstattungsbescheid

Hallo!
Ich habe 'zu Unrecht' Leistungen bekommen und wurde nun aufgefordert, Geld zurückzuzahlen. Da die Arge sich weigert, mich über meine Rechte aufzuklären, wende ich mich an Euch.
Die Situation ist folgende: Vom 09.05. bis 31.05. habe ich eine Honorartätigkeit ausgeübt wodurch ich knapp 1000 Euro verdient habe, dieses Geld ging aber erst am 10.06. auf mein Konto ein. Seit dem 01.06. habe ich eine feste Arbeitsstelle. Die Arge fordert jetzt die kompletten Leistungen, die mir Ende Mai, also für den Juni überwiesen wurden, zurück. Meines Erachtens ist es aber so, dass nicht der Tag der Arbeitsaufnahme, sondern der Tag, an dem das Einkommen aufs Konto kommt, als Stichtag für das Ende des Leistungsanspruchs gilt. Wenn dem so ist, müsste ich bis 09.06. noch einen Anspruch gehabt haben und müsste daher auch nicht den ganzen Betrag zurück zahlen, oder? Es sei denn, diese Regelung gilt nicht, wenn es sich um eine Vollzeit-Beschäftigung handelt (Arbeitsvertrag ab 01.06.).
Kann mir dazu jemand was sagen? (Und vielleicht auch das entsprechende Gesetz/Paragraph nennen?)
Vielen Dank im Voraus!

Danke für die schnlle Antwort! Es ist also nicht so, dass ich anteilig, also bis 09.06. noch einen Anspruch habe? Es werden da immer ganze Monate berechnet oder was?

Das wäre schön... nee, die Arge hält sich sehr zurück mit Informationen, habe keinerlei Infos bekommen, aber meine Frage hast Du ja beantwortet, dann weiß ich bescheid. Danke nochmal!