zur untermiete bei den eltern

"meine eltern würden mir aber anbieten, ihr ferienhaus zu beziehen, wenn ich es rechtmäßig mieten würde."

Das ist unattraktiv, weil du für das BAföG-Amt weiterhin bei deinen Eltern wohnst. Dies ergibt sich aus § 13 Abs. 3 a BAföG:

§ 13 Bedarf für Studierende

(1) Als monatlicher Bedarf gelten für Auszubildende in

1.
Fachschulklassen, deren Besuch eine abgeschlossene Berufsausbildung voraussetzt, Abendgymnasien und Kollegs 310 Euro,
2.
Höheren Fachschulen, Akademien und Hochschulen 333 Euro.

(2) Die Bedarfe nach Absatz 1 erhöhen sich für die Unterkunft, wenn der Auszubildende

1.
bei seinen Eltern wohnt, um monatlich 44 Euro,
2.
nicht bei seinen Eltern wohnt, um monatlich 133 Euro.

(2a) (weggefallen)
(3) 1Soweit Mietkosten für Unterkunft und Nebenkosten nachweislich den Betrag nach Absatz 2 Nr. 2 übersteigen, erhöht sich der dort genannte Bedarf um bis zu monatlich 64 Euro. 2Satz 1 findet keine Anwendung, wenn bei Auslandsausbildungen bei dem Bedarf ein Zu- oder Abschlag nach Maßgabe des Absatzes 4 vorgenommen wird.
(3a) Ein Auszubildender wohnt auch dann bei seinen Eltern, wenn der von ihm bewohnte Raum im Eigentum der Eltern steht.
(4) Bei einer Ausbildung im Ausland nach § 5 Abs. 2 wird, soweit die Lebens- und Ausbildungsverhältnisse im Ausbildungsland dies erfordern, bei dem Bedarf ein Zu- oder Abschlag vorgenommen, dessen Höhe die Bundesregierung durch Rechtsverordnung mit Zustimmung des Bundesrates bestimmt.

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Wenn du das Ferienhaus mietest, bliebe dein BaföG unverändert bei 319,00 EUR.

Günstiger ist es für dich,wenn du dich woanders einmietest.Dann erhöht sich dein BAföG um 153 EUR auf 472 EUR.

Du könntest aber versuchen, einen Mietzuschuss bei der Arge auf Grund von § 22 Abs. 7 SGB 2 zu bekommen:

(7) 1Abweichend von § 7 Abs. 5 erhalten Auszubildende, die Berufsausbildungsbeihilfe oder Ausbildungsgeld nach dem Dritten Buch oder Leistungen nach dem Bundesausbildungsförderungsgesetz erhalten und deren Bedarf sich nach § 65 Abs. 1, § 66 Abs. 3, § 101 Abs. 3, § 105 Abs. 1 Nr. 1, 4, § 106 Abs. 1 Nr. 2 des Dritten Buches oder nach § 12 Abs. 1 Nr. 2, Abs. 2 und 3, § 13 Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 2 Nr. 1 des Bundesausbildungsförderungsgesetzes bemisst, einen Zuschuss zu ihren ungedeckten angemessenen Kosten für Unterkunft und Heizung (§ 22 Abs. 1 Satz 1). 2Satz 1 gilt nicht, wenn die Übernahme der Leistungen für Unterkunft und Heizung nach Absatz 2a ausgeschlossen ist

Bei BAföG muss stets die Hälfte der Förderung zurückgezahlt werden; der Mietzuschuss nach § 22 Abs. 7 SGB II ist nicht rückzahlbar.