Eltern-Kinder Unterhaltspflicht?

Fall 1. Nein

Fall 2. Kommt darauf an, ob das Kind bereits eine abgeschlossene Ausbildung hat.
Weiterhin spielt auch das Einkommen der Eltern eine Rolle.

Die Möglichkeiten der Arge, Unterhaltsansprüche geltend zu machen, sind in § 33 SGB 2 geregelt:

§ 33 Übergang von Ansprüchen

(1) 1Haben Empfänger von Leistungen zur Sicherung des Lebensunterhalts für die Zeit, für die Leistungen erbracht werden, einen Anspruch gegen einen anderen, der nicht Leistungsträger ist, geht der Anspruch bis zur Höhe der geleisteten Aufwendungen auf die Träger der Leistungen nach diesem Buch über, wenn bei rechtzeitiger Leistung des anderen Leistungen zur Sicherung des Lebensunterhalts nicht erbracht worden wären. 2Der Übergang wird nicht dadurch ausgeschlossen, dass der Anspruch nicht übertragen, verpfändet oder gepfändet werden kann. 3Unterhaltsansprüche nach bürgerlichem Recht gehen zusammen mit dem unterhaltsrechtlichen Auskunftsanspruch auf die Träger der Leistungen nach diesem Buch über.

(2) 1Ein Unterhaltsanspruch nach bürgerlichem Recht geht nicht über, wenn die unterhaltsberechtigte Person

1.
mit dem Verpflichteten in einer Bedarfsgemeinschaft lebt,
2.
mit dem Verpflichteten verwandt ist und den Unterhaltsanspruch nicht geltend macht; dies gilt nicht für Unterhaltsansprüche

a)
minderjähriger Hilfebedürftiger,
b)
von Hilfebedürftigen, die das 25. Lebensjahr noch nicht vollendet und die Erstausbildung noch nicht abgeschlossen haben,

gegen ihre Eltern,
3.
in einem Kindschaftsverhältnis zum Verpflichteten steht und

a)
schwanger ist oder
b)
ihr leibliches Kind bis zur Vollendung seines sechsten Lebensjahres betreut.

2Der Übergang ist auch ausgeschlossen, soweit der Unterhaltsanspruch durch laufende Zahlung erfüllt wird. 3Der Anspruch geht nur über, soweit das Einkommen und Vermögen der unterhaltsverpflichteten Person das nach den §§ 11 und 12 zu berücksichtigende Einkommen und Vermögen übersteigt.

(3) 1Für die Vergangenheit können die Träger der Leistungen nach diesem Buch außer unter den Voraussetzungen des bürgerlichen Rechts nur von der Zeit an den Anspruch geltend machen, zu welcher sie dem Verpflichteten die Erbringung der Leistung schriftlich mitgeteilt haben. 2Wenn die Leistung voraussichtlich auf längere Zeit erbracht werden muss, können die Träger der Leistungen nach diesem Buch bis zur Höhe der bisherigen monatlichen Aufwendungen auch auf künftige Leistungen klagen.

(4) 1Die Träger der Leistungen nach diesem Buch können den auf sie übergegangenen Anspruch im Einvernehmen mit dem Empfänger der Leistungen auf diesen zur gerichtlichen Geltendmachung rückübertragen und sich den geltend gemachten Anspruch abtreten lassen. 2Kosten, mit denen der Leistungsempfänger dadurch selbst belastet wird, sind zu übernehmen. 3Über die Ansprüche nach Absatz 1 Satz 3 ist im Zivilrechtsweg zu entscheiden.

(5) Die §§ 115 und 116 des Zehnten Buches gehen der Regelung des Absatzes 1 vor.

"Und: wo ist das Gesetz geblieben, dass Eltern und Kinder grundsätzlich füreinander aufkommen müssen?"

Das steht nach wie vor so im BGB.