umzug wegen wohnliche mängel

wir,zwei erwachsende und unsere zwei kinder im alter von 13 und 3 jahren,meine frau bekommt hartz IV, wollen wegen wohnlichen mängeln (schimmelpilz) aus unserer wohnung ausziehen um gesundheitliche probleme zu vermeiden.ein bisheriger gerichtlicher vergleich wurde von unseren vermieter bisher nicht restlos erfüllt.auch neue schimmelpilzmängel und stockflecke die wir dem vermieter angezeigt hatten sind bisher nicht beseitigt worden.jegliche schreiben durch unseren anwalt an unseren vermieter werden großzügig ignoriert.
steht uns eine übernahme der umzugskosten zu auch wenn wir nur ca. 10 km in einen anderen landkreis ziehen? die umzugskosten könnten doch durch das amt dem vermieter in rechnung gestellt werden,oder?
würde mich sehr über eure antworten dazu freuen,vieleicht hat ja jemand ein ähnliches problem schon durchlebt.

.....ja so was hatte ich mir schon gedacht.ist nur ein beruhigendes gefühl zu
wissen das andere genauso denken.vielen dank für deine antwort kätzchen