Umziehen - wer zahlt die Kaution?

Hallo,

da ich noch ziemlich neu in Sachen Sozailleistungen bin und wirklich kaum Ahnung habe, möchte ich mal eben nachfragen wie das ist, wenn ich umziehe.
Wir haben eine Bedarfsgemeinschaft (ich-freund kind) wohnen noch in einer 1-Zimmer-wohnung und wollen umziehen -da hiess es ich soll das in einem formlosen Schreiben beantragen.
Gesagt - Getan - und zwar vorgestern.
Nun meine eigtl. Frage ist - wenn der "Jobcenter" damit einverstanden ist : Übernehmen wir die Kaution? Oder der Jobcenter?
Und was passiert mit der Kaution die ich noch zurück bekomme von meiner alten Wohnung - denn die habe ich eigtl. von meinen Vater geliehen.
Dann habe ich noch eine andere Frage - da es sich grad so anbietet - Erstaustattung - in der neuen Wohnung gibt es keine Küche - und es geht unm 1-2 Sachen an Möbeln und Grundaustattung. Wie beantrage ich das ? Auch formlos oder gibt es da einen extra Antrag? und auf was muss evtl. geachtet werden?

Danke!

Hallo,
ja vielen Dank für die beiden Antworten!
Und was ist mit der Kaution die ich zurück bekomme??? Die ja eigtl. meinem Vater gehören- weil er mir das geliehen hat? Fragen die da nach ? oder stört das die gar nicht weiter?

lieben dank schon mal für die Antowrten!
Gruß!!