getrennte wohnung, trotzdem zusammen, alleinerziehend, Unterhalt?

Wir haben eine glückliche aber noch nicht sehr lange Fernbeziehung (Internet...) und leben daher noch nicht zusammen. Unser überraschender Nachwuchs , 3 Monate alt, lebt bei mir. Ich beziehe als Selbstständige Hartz-4, der Vater will Unterhalt zahlen, kann aber zur Zeit nicht. Beim Jugendamt wurde uns erst geraten, der Vater solle sich zur Zahlung bereit erklären, damit ich wenigstens einen Alleinerziehenden-Zuschuss bekomme. Jetzt verlangt die Arge den Nachweis der Zahlung, habe ich mangels Zahlung nicht. Deswegen muss ich jetzt Unterhaltsvorschuss beantragen, die nächste Sachbearbeiterin beim Jugendamt hat mir aber Streichung des Unterhaltsvorschusses und Betrugsanzeige angedroht, falls sie "mich mit dem Vater des Kindes zusammen in der Stadt sieht", weil ich dann ja nicht alleinerziehend bin. Dann würde auch der Alleinerziehendenzuschuss der Arge wegfallen. Also noch weniger Geld. Was kann man tun? Umziehen können wir beide zur Zeit nicht. Falls jemand wie in anderen Beiträgen meint: "sucht Euch doch Arbeit"- ich bin für alle vernünftigen Stellenangebote offen!